In [8]:
#4.
plt.plot(I,v,marker='+',linestyle='')
plt.show()
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
Écrire une fonction qui prend un entier $\verb|n|$ en entrée, et retourne le couple $(a, b)$, où $a=\sum\limits_{i=1}^{n} \sqrt{i}$ et $b=\sum\limits_{i=1}^{n}\lfloor\ln (i)\rfloor$.
def sommes(n):
I=np.arange(1,n+1,1)
S=np.sum(np.sqrt(I))
T=np.sum(np.floor(np.log(I)))
return (S,T)
#Avec une boucle for :
def sommes2(n):
S,T = 0,0
for i in range(1,n+1):
S+=np.sqrt(i)
T+=np.floor(np.log(i))
return (S,T)
Justifier la convergence de la série $\sum \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$.
Créer un vecteur $\verb|u|$ de longueur $50$ qui a pour composantes les réels $ \frac{(-1)^{i}}{i^{2}}$, pour $i\in [| 1, 50|]$.
Créer un vecteur $\verb|v|$ de longueur 50 qui a pour composantes les réels $ \sum\limits_{k=1}^{i} \frac{(-1)^{k}}{k^{2}}$, pour $i\in [| 1, 50|]$.
Illustrer la convergence de la série en représentant graphiquement la suite de ses sommes partielles, et donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près de $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$.
#2.
I=np.arange(1,51)
u=(-1)**I/I**2
#Avec une boucle for
u=np.zeros(50)
for i in range(50):
u[i]=(-1)**(i+1)/(i+1)**2
#3.
#Avec la commande cumsum (somme cumulative)
v=np.cumsum(u)
#Avec une boucle for
v=np.zeros(50)
for i in range(50):
v[i]=sum(u[0:i+1])
#4.
plt.plot(I,v,marker='+',linestyle='')
plt.show()
#On veut |S_{n+1}-S_n|<0.1 c'est-à-dire 1/(n+1)^2<0.1, soit n+1>sqrt(10), donc n>=3
I=np.arange(1,4)
u=(-1)**I/I**2
print("Approximation de la somme à 0.1 près :",sum(u))
Approximation de la somme à 0.1 près : -0.8611111111111112
Soit $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite définie par $u_{0}=1$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=2 n\, u_{n}+3$. Écrire une fonction ayant pour paramètre un entier $n \geq 0$ et qui renvoie la valeur de $u_{n}$.
Même question $\operatorname{avec}\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_{0}=1, u_{1}=-2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}, u_{n+2}=2 u_{n+1}-u_{n}$.
#1.
def u(n):
u=1
for i in range(n):
u=2*i*u+3
return u
#2.
def u(n):
u=1; v=-2
if n==0:
return(u)
for i in range(n-1):
u,v=v,2*v-u
return(v)
Représenter sur une même figure les représentations graphiques des fonctions $\sin$, $x \mapsto x$, $\displaystyle x \mapsto x-\frac{x^{3}}{3 !}$ et $\displaystyle x \mapsto x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}$ sur l'intervalle $[-\pi, \pi]$.
x=np.linspace(-np.pi,np.pi,100)
y=np.sin(x)
z=x-x**3/6
w=x-x**3/6+x**5/120
plt.plot(x,x)
plt.plot(x,y)
plt.plot(x,z)
plt.plot(x,w)
plt.grid()
plt.show()
#2.
def f(x):
return((np.exp(x)-np.exp(-x))/2)
x=np.linspace(-2,2,101)
y=f(x)
plt.plot(x,y,label="f")
plt.plot(y,x,label="f^(-1)")
plt.grid()
plt.legend()
plt.axis([-2,2,-4,4])
plt.show()
On note $\varphi$ la fonction définie par $\varphi ~:~ x~\mapsto ~ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{x^{2}}{2}\right)$, et on introduit la fonction $$\Phi ~:~ x ~\mapsto ~ \int_{-\infty}^{x} \varphi(t) \mathrm{d} t.$$
Définir la fonction $\varphi$ en langage Python. La représenter graphiquement sur le segment $[-4,4]$.
On rappelle que si $f$ est une fonction continue sur un segment $[a, b]$ alors $$\int{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t \, =\, \lim {n \rightarrow+\infty} \frac{b-a}{n}
\sum_{k=1}^{n} f\left(a+k \; \frac{b-a}{n}\right).$$
Écrire une fonction $\verb|Phi|$ en Python qui prend comme argument des réels $\verb|x|$ et $\verb|a|$ et un entier $\verb|n|$, et renvoie une approximation de $\Phi(\verb|x|)$. On précisera comment choisir $\verb|a|$ et $\verb|n|$ de manière adéquate.
En utilisant la fonction $\verb|Phi|$, tracer une approximation de la représentation graphique de $\Phi$.
#1.
def phi(x):
return 1/(np.sqrt(2*np.pi))*np.exp(-x**2/2)
x=np.linspace(-4,4,300)
y=phi(x)
plt.plot(x,y)
plt.show()
#2.
def Phi(x,a,n):
S=0
h=(x-a)/n
for i in range(1,n+1):
S+=phi(a+i*h)
return h*S
Pour obtenir une bonne approximation de $\Phi(x)$, il s'agira de choisir une valeur de $\verb|a|$ assez petite. Comme $\varphi(-4)$ est très proche de $0$, qui est la limite de $\phi$ en $-\infty$, le choix $a=-4$ semble suffisant.
Par ailleurs, il faudra choisir une valeur de $\verb|n|$ assez grande pour approcher la limite $n\to +\infty$.
#3.
a=-4
n=100
x=np.linspace(-4,4,100)
y=Phi(x,a,n)
plt.plot(x,y, label="Phi")
plt.legend()
plt.show()
#4.
import scipy.special as sp
a=-4
n=100
x=np.linspace(-4,4,100)
y=Phi(x,a,n)
z=sp.ndtr(x)
plt.plot(x,y, label="Phi")
plt.plot(x,z, label="sp.ndtr")
plt.plot(x,abs(z-y), label="Erreur")
plt.legend()
plt.show()
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}_+^\star$ par $$f~:~x ~\mapsto ~\frac{2}{x}+\ln x.$$ Tracer le graphe de $f$ ainsi que la droite d'équation $y=x$, puis vérifier graphiquement que :
Soit $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite définie par $u_{0}=2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$. Écrire une fonction $\verb|u(n)|$ ayant pour paramètre d'entrée $\verb|n|$, et qui renvoie la valeur de $u_{n}$.
On souhaite représenter graphiquement les premiers termes de la suite pour visualiser la convergence. Écrire une fonction $\verb|suite(n)|$ prenant en argument un entier $\verb|n|$ et renvoyant le vecteur $\verb|x|$ des abscisses et celui $\verb|y|$ des ordonnées de la suite de points suivante : $$(u_0,u_1),~ (u_1,u_1),~ (u_1,u_2),~ (u_2, u_2),~ (u_2,u_3),~ (u_3, u_3),~ \ldots,~ (u_{n-1},u_n),~ (u_n, u_n).$$
Tracer sur un même graphique la courbe représentative $f$ pour des abscisses comprises entre $1{,}65$ et $1{,}75$, ainsi que la courbe obtenue en reliant les points ci-dessus pour $n=10$, puis conjecturer le comportement asymptotique de $\left(u_{n}\right)$.
Montrer que pour tout $(x, y) \in{\left[\frac{3}{2}, 2\right]}^{2},|f(x)-f(y)| \leq \frac{2}{9}\; |x-y|$.
Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N},\left|u_{n+1}-\alpha\right| \leq \frac{2}{9}\; \left|u_{n}-\alpha\right|$ puis que $\left|u_{n}-\alpha\right| \leq\left(\frac{2}{9}\right)^{n}\left|u_{0}-\alpha\right|$.
En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $\alpha$.
Écrire une fonction qui donne une approximation de $\alpha$ à $\varepsilon$ près pour $\varepsilon>0$ donné. En déduire une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.
#1.
def f(x):
return 2/x+np.log(x)
x=np.linspace(3/2,2,200)
y=f(x)
plt.plot(x,y)
plt.plot(x,x)
plt.grid()
plt.show()
#Estimation du point fixe par dichotomie
a, b= 3/2, 2
while (b-a)>1e-3:
c=(a+b)/2
if f(c)<c:
b=c
else:
a=c
print("Estimation du point fixe de f sur [3/2,2] :",(a+b)/2)
Estimation du point fixe de f sur [3/2,2] : 1.70654296875
#2.
#Définition de u par une méthode itérative
def u(n):
u=2
for i in range(n):
u=f(u)
return(u)
#Définition de u par une méthode récursive
def u(n):
if n==0:
return(2)
else:
return(f(u(n-1)))
#3.
def suite(n):
x,y= np.zeros(2*n), np.zeros(2*n)
x[0], y[0] = 2, f(2)
x[1], y[1] = f(2),f(2)
for i in range(1,n):
x[2*i], y[2*i] = x[2*i-1], f(x[2*i-1])
x[2*i+1],y[2*i+1] = y[2*i], y[2*i]
return (x,y)
#4.
(x,y)=suite(10)
I=np.linspace(1.65,1.75,100)
z=f(I)
plt.plot(I,z)
plt.plot(I,I)
plt.plot(x,y)
plt.axis([1.65,1.75,1.66,1.74])
plt.show()
On sait que $|u_n-\alpha|\leqslant {\left(\frac 2 9\right)}^n |u_0-\alpha|$. Comme $u_0, \alpha \in [\frac 3 2, 2]$, on en déduit que $|u_0-\alpha|\leqslant 2-\frac 3 2 = \frac 1 2$. Finalement, $$|u_n-\alpha| \leqslant \frac 1 2 {\left(\frac 2 9\right)}^n.$$ Pour $\varepsilon>0$ fixé, on cherche donc $n$ tel que $\frac 1 2 {\left(\frac 2 9\right)}^n\leqslant \varepsilon$, ce qui se récrit $n\geqslant \frac{\ln(2\varepsilon)}{\ln\left(\frac 2 9\right)}$, soit $n \geqslant \left\lceil \frac{\ln(2\varepsilon)}{\ln\left(\frac 2 9\right)}\right\rceil$ .
#8.
def approx(eps):
n=int(np.ceil(np.log(2*eps)/np.log(2/9)))
return u(n)
eps=1e-3
print("Valeur approchée à approx(eps) à 1e-3 près :", approx(eps))
Valeur approchée à approx(eps) à 1e-3 près : 1.7064385792152557